Primfaktorproduktdarstellung

Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Produkt von Primzahlen ausdrücken. Damit ist folgende Darstellung für alle natürlichen Zahlen denkbar:

  • Eine Zahl besteht aus n Ziffern.
  • Ziffern haben von rechts nach links aufsteigend die Wertigkeit einer Primzahl.
  • Eine Ziffer steht für den Exponenten der Primzahl in der Primfaktorzerlegung der zu repräsentierenden Zahl.
  • Die Wertigkeit einer Zahl ergibt sich aus dem Produkt aller Primzahlen mit der jeweiligen Ziffer als Exponent.
  • Präfix „p“, um die Darstellung als Primfaktorprodukt auszudrücken.

Zahlen in der Primfaktorproduktdarstellung lassen sich verständlicherweise trivial in ihre Primfaktoren zerlegen. Die zugehörige Dezimalzahl ergibt sich durch Ausmultiplizieren der Primfaktoren. Umgekehrt ist eine Primfaktorzerlegung erforderlich, um eine Dezimalzahl als Primfaktorprodukt darzustellen.

Beispiel:
Primzahlen: 2,3,5,7,11,…
Dann ist die Primfaktorproduktdarstellung von Vierzehn:

14 = 7*2 = 7^1 * 5^0 * 3^0 * 2^1 = p1001

Rechenbeispiele:

7 * 2 = 14
p1000 * p0001 = p1001
2 + 3 = 5
p0001 + p0010 = p0100
7 + 2 = 9
p1000 + p0001 = p0020
8 : 2 = 4
p0003 : p0001 = p0002

Wie man sieht, entspricht die Multiplikation in der Primfaktorproduktdarstellung der Addition der einzelnen Ziffern, die Division entspricht der Subtraktion. Erlaubt man auch negative Ziffern, so erweitert sich der repräsentierbare Zahlenraum auf alle rationalen Zahlen außer Null.

8 : 7 = 1 + 1/7
p0003 : p1000 = p0 + p0/p1000

Um Ziffern größer als 9 oder negative Ziffern abzugrenzen, kann die entsprechende Ziffer durch eine runde Klammer abgegrenzt werden.

8 : 16 = 1/2
p0003 : p0004 = p000(-1)

Die Null ist so nicht darstellbar. Da eine Welt ohne Null realitätsfern ist, sei festgelegt, dass ein alleinstehendes „p“ dem Zahlenwert Null entspricht.

p = 0

Eine Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn ihre Primfaktorproduktdarstellung aus genau einer Eins und ansonsten ausschließĺich Nullen besteht.

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